Εργαλείο πράξεων σε σημεία ελλειπτικής καμπύλης online
Υπολογίστε το άθροισμα δύο σημείων σε ελλειπτική καμπύλη y²=x³+ax+b modulo πρώτο p. Παράδειγμα: p=17, a=2, P(5,1), Q(6,3) → (10,6).
Έναρξη χρήσης
Τι κάνει αυτό το εργαλείο
Αυτό το εργαλείο υπολογίζει το άθροισμα δύο σημείων P και Q σε μια ελλειπτική καμπύλη της μορφής y² = x³ + ax + b modulo έναν πρώτο αριθμό p. Η καμπύλη ορίζεται έμμεσα: ο συντελεστής b προκύπτει από το σημείο P, και το Q πρέπει να βρίσκεται στην ίδια καμπύλη. Οι συντεταγμένες κανονικοποιούνται modulo p.
Πώς λειτουργεί ο αλγόριθμος
Για διαφορετικά σημεία, η κλίση είναι (yQ - yP) / (xQ - xP) mod p. Για διπλασιασμό (όταν P = Q), η κλίση είναι (3xP² + a) / (2yP) mod p. Οι αντίστροφοι υπολογίζονται με τον εκτεταμένο αλγόριθμο του Ευκλείδη. Το αποτέλεσμα δίνεται από x = κλίση² - xP - xQ και y = κλίση(xP - xR) - yP, όλα modulo p.
Παράδειγμα με αριθμούς
Έστω p = 17, a = 2, P = (5, 1) και Q = (6, 3). Τότε P + Q = (10, 6). Επίσης, αν P = (5, 1) και Q = (5, 16), το αποτέλεσμα είναι το σημείο στο άπειρο, επειδή έχουν ίδια x και αντίθετα y (κατακόρυφο ζεύγος).
Περιορισμοί και σημειώσεις
- Το p πρέπει να είναι πρώτος αριθμός μεταξύ 3 και 200000.
- Ο συντελεστής a είναι ακέραιος.
- Τα σημεία πρέπει να ανήκουν στην ίδια καμπύλη (που ορίζεται από το P).
- Το εργαλείο υπολογίζει μόνο πρόσθεση δύο σημείων, όχι πολλαπλασιασμό με βαθμωτό ή άλλες κρυπτογραφικές πράξεις.
- Ο υπολογισμός γίνεται τοπικά στο πρόγραμμα περιήγησης και δεν αποστέλλονται δεδομένα στον διακομιστή.
Συχνές ερωτήσεις
1. Τι σημαίνει αν το αποτέλεσμα είναι «σημείο στο άπειρο»;
Αυτό συμβαίνει όταν τα δύο σημεία έχουν την ίδια συντεταγμένη x και αντίθετες y (π.χ. P και -P). Στην πρόσθεση ελλειπτικών καμπυλών, το άθροισμά τους είναι το ουδέτερο στοιχείο, που αναπαρίσταται ως σημείο στο άπειρο.
2. Γιατί το Q πρέπει να είναι στην ίδια καμπύλη με το P;
Η καμπύλη ορίζεται από το P μέσω του παραγόμενου b. Αν το Q δεν ικανοποιεί την εξίσωση y² = x³ + ax + b (mod p), τότε δεν ανήκει στην καμπύλη και η πράξη δεν ορίζεται. Το εργαλείο απορρίπτει τέτοια σημεία.
3. Μπορώ να χρησιμοποιήσω σύνθετο ή άρτιο p;
Όχι. Το p πρέπει να είναι πρώτος αριθμός. Το εργαλείο ελέγχει την πρωταρχικότητα και απορρίπτει μη πρώτους αριθμούς, καθώς οι πράξεις modulo σύνθετο αριθμό δεν ορίζουν σωστά ομάδα.
Εισαγάγετε ασφαλείς ακεραίους χωρισμένους με κόμματα ή λευκά διαστήματα· δεν επιτρέπονται δεκαδικοί. -9007199254740991 ≤ a, xP, yP, xQ, yQ ≤ 9007199254740991
a: 2; p: 17; P: 5,1; Q: 6,3; P + Q = (10,6)
4a³ + 27b² ≡ 0 (mod p): Η καμπύλη είναι ιδιάζουσα· δεν υποστηρίζεται πρόσθεση σημείων ελλειπτικής καμπύλης.
Η επεξεργασία γίνεται τοπικά στο πρόγραμμα περιήγησής σας.